linear-algebra-09-change-of-basis.md

선형 대수학 Linear algebra

https://www.youtube.com/watch?v=P2LTAUO1TdA
선형 변환 Linear transformation
행렬 곱셈 Matrix multiplication

📌 기저 변환 Change of basis

어떤 기저 v에 대해 표현된 좌표들을 다른 기저 w에 대해 표현된 좌표들로 변환하는 작업

기본 개념

• 같은 벡터라도, 다른 기저 벡터, 다른 좌표계에서 다른 행렬을 가집니다.

  요소	내용
  origin 원점	항상 동일
  axies, grid spacing	depends on own basis vector

📌 기저 벡터 변환하기

1. 대상 기저 벡터를, 현재 기저 벡터로 변환

• 벡터(노란색)를 다음과 같이, [-1, 2] 행렬로 표현할 수 있는 좌표계의 기저 벡터는 b1, b2입니다.
  
• 이 벡터를 현재 좌표계를 통해 표현하면, b1과 b2의 좌표는 다음과 같습니다.
  
• 좌표계에 벡터를 스케일링 scaling 합니다.
  • 행렬 곱셈 matrix-vector multiplication
    
• 같은 좌표계
  • 현재 기저 벡터일 때: 현재 좌표계 > 대상 좌표계 > 현재 좌표계 행렬곱셈
    

2. 현재 기저 벡터를, 대상 기저 벡터로 변환

• 벡터(노란색)를 다음과 같이, i hat, j hat으로 표현 시 행렬은 [3, 2]입니다.
  
  
• 해당 벡터를 다음 b1, b2 기저 벡터를 가진 대상 좌표계에서 확인하려 합니다.
  
  
• 행렬은 다음과 같습니다.
  
  
• 역행렬을 통해 계산합니다.
  
  
  

역행렬을 사용하는 이유

• 대상의 기저 벡터를, 현재 기저 벡터로 표현한 행렬 A
  
  
• 대상의 벡터에 행렬 A를 곱함으로서, 현재 좌표계의 행렬을 알 수 있다.
  
  
• 이를 역으로 계산하는 것
  
  

📌 변환 공식

예시: 특정 기저 벡터를 가진 행렬에서, 반시계방향으로 90도 회전

1. 기저 변환 행렬 Change of basis matrix

2. 변환 행렬

• 선형 변환
  
  

3. 역변환

• 기저 변환 행렬을 되돌리기
  • Inverse change of basis matrix (컴퓨터 계산)
    
    

결과

Expression

expression	설명
A⁻¹, A	시점의 변화
M	내 시점에서의 변환

💡 영어

prerequisites[ˌpriːrɪˈkwɪzəts] 선수 조건: conditions or requirements that must be fulfilled before something else can happen or be done

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