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题目: 买卖股票的最佳时机

题目描述：

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。

如果你最多只允许完成一笔交易（即买入和卖出一支股票），设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。

注意你不能在买入股票前卖出股票。

示例1：

输入: [7,1,5,3,6,4]
输出: 5
解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
    注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格。

示例2：

输入: [7,6,4,3,1]
输出: 0
解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

解题思路:

1. 暴力遍历

2. 动态规划思想：

• 记录【今天之前买入的最小值】
• 计算【今天之前最小值买入，今天卖出的获利】，也即【今天卖出的最大获利】
• 比较【每天的最大获利】，取最大值即可

3. 动态规划：状态 dp[i][j] 表示：在索引为 i 的这一天，用户手上持股状态为 j 所获得的最大利润。j=0,1,2三种状态，详细分析见代码

时间复杂度：

1: O(n^2)

2: O(n)

3: O(n)

空间复杂度

1.2：O(1)

3：O(n)

代码

暴力遍历

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int res = 0;
        int n = prices.size();
        for (int i=0;i<n;i++)
        {
            for (int j=i+1;j<n;j++)
            {
                if (prices[j]>prices[i])
                {
                    res = max(res, prices[j]-prices[i]);
                }
            }
        }
        return res;
    }
};

动态规划(简化)

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int n = prices.size();
        if (n<=1) return 0;
        int res = 0;
        int min_price = prices[0];
        for (int i=0;i<n;i++)
        {
            res = max(res, prices[i] - min_price);
            min_price = min(min_price, prices[i]);
        }
        return res;
    }
};

动态规划

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int n = prices.size();
        if (n<=1) return 0;
        vector<vector<int>> dp (n, vector<int> (3,0));
        int res = 0;
        // 状态 dp[i][j] 表示：在索引为 i 的这一天，用户手上状态为 j 所获得的最大利润。

        // 0：不进行任何操作
        // 1：用户执行了一次买入操作
        // 2：用户执行了一次卖出操作

        dp[0][0] = 0;  
        dp[0][1] = -prices[0]; 
        dp[0][2] = 0;  

        // 状态转移方程：
        // dp[i][0] 永远等于 0
        // dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i])
        // dp[i][2] = max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] + prices[i])

        for (int i=1;i<n;i++)
        {
            dp[i][0] = dp[i-1][0];
            dp[i][1] = max(dp[i-1][0] - prices[i], dp[i-1][1]);
            dp[i][2] = max(dp[i-1][1] + prices[i],dp[i-1][2]);
        }
        res = max(dp[n-1][0], dp[n-1][2]);
        return res;
    }
};