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01 Buongiorno, La tesi si intitola: Lagrangiane di ordine superiore nei
sistemi classici e qunatistici.  Io sono Simone Bertolotto e il relatore della
tesi e' il professor Igor Pesando.

02 Nell' introduzione viene descrito un ambito dove Lagrangiane di
ordine superiore compaiono.

03 Il fine ultimo della fisica toria e' la formulazione di una teoria
che descriva tutto l'universo: una teoria del tutto. La teoria qunatistica dei
campi descrive i fenomi su piccola scala metre la relativita' generale quelli
su larga scala.

04 Tuttavia una unificazione delle due in un unica teoria della strighe non e'
stata fino ad ora soddisfacente in quanto non sono conosciuti esperimenti
fattibili per corroborarla. Altre strade sono state esplorate.

05 Una di queste si basa sull'idea che la teoria del tutto e' un ordinaria
teoria di campo formulata in uno spazio di dimensione maggiore dove il nostro
universo 3+1 dimensionale non e' che una sottile pellicola immersa in tale
spazio. L'intuizione dell'universo come una membrana e' direttamenete presa
dalla teoria delle stringhe. Proprio in questo contesto emergono le Lagrangiane
di ordine superiore.

06 Vediamo ora la matematica necessaria allo studio di questo tipo Lagrangiane.

07 Una Lagrangiana di ordine n e' una lagrangiana che contiene le
derivate delle q rispetto al tempo fino all'ordine n. Per ricavare le equazioni
di Eulero Lagrange per questo tipo di Lagrangiane definiamo prima di tutto il
funzionale d'azione S. Andiamo a perturbare il funzionale con pertubazioni fino
all'oridine n e definiamo la varazine del fuzionale come il fuzionale
perturbato meno il funzionale imperturbato. Considerando le perturbazioni
infinitesime e tenendo gli estremi fissati ottieniamo l'equatione dell'ultima
riga.

08 Osservando la somiglianza il differenziale del calcolo multivariabile
definiamo formalmente la derivata del funzionale S e sottointendendo la
relazione tra funzionale e lagrangiana definiamo la Derivata funzionale di L
rispetto alle q(i).

09 Applicando ora il principio di Hamilton e usano la deifinizione di derivata
fuzionale arrivamo alle equazioni di Eulero Lagrange per una Lagrangiana di
ordine superiore. Nelle equazioni di Eulero Lagrange per una derivata di ordine
n, abbiamo le q derivate rispetto al tempo fino all'ordine 2n.

10 Per passare del formalismo lagrangiano a quello Hamiltoniano definiamo le
coordinate canoniche Q e P (sempre usando la derivata fuzionale). Definiamo la
fuzione H tilda come nella seconda riga. Sotto l'ipotesi di lagrangiana
regolare possiamo scrivere le q(n) come una fuzione h delle coordiate
canoniche.

11 Sostistuendo tutto in H tilda otteniamo l'hamiltoniana H. L'evoluzione nel
tempo di una fuzione delle coordinate canonitche e' data mediante il formalimo
delle parentasi di Poisson.

12 Vediamo degli esempi di lagrangiane di ordine superiore

13 Controntiamo una lagragina del primo ordine con una lagrangiana del secondo
ordine e studiamo gli spettri energetici delle corrispondenti Hamiltoniane.

14 L1 e' una tradizionale lagrangiana della fisica classica. Le equazione di
Eulero Lagrange sono troncate al secodo termine. L'Hamiltoniana e' quella che
ci aspettiamo: energia cinetica piu' potenziale.

15 Per L2 le equazioni di Eulero Lagrange sono troncate al 3 termine. Occorre
in base a qunato detto prima definiamo Q1 P1 e Q2 P2.

16 Sostituiamo l'equazione 1 nell definizione di H2 tilda e otteiano
l'Hamiltonina riquadrata in grigio.

17 C'e' una significativa differenza tra gli spettri di H1 e di H2. Il primo e'
limitato dal basso mentre il secondo non lo e'. Entrambi non hanno limite
superiore.

18

19 Consideriamo il sistema H2 isolato; se l'energia si conserva anche se lo
spettro non e' limitato l'energia rimane costante. Se invece per esempio H2
interagisce con H1, il sistema H2 cerca di raggiungere un minimo di energia
tramettendo parte della sua energia ad H1 e questo comportamento continua
indefinitivamente. Questa e' la cosiddeta instabilita' lineare di Ostrogradsky.

20 Segue il teorema di Ostrogradky. Se in una lagrangiana del secondo ordine o
superiore il momento canonico Pn non si annulla, la corrispondente Hamiltoniana
puo' assumere una arbitario valore reale.

21 Un modo di curare l'instabilita' di Ostrogradsky nei sistemi classici e'
imponendo dei vincoli. Per intrudurre i vincoli nei sistemi, si sono usate le
variabili ausiliarie labmda e successivamente i vincoli sono stati studiati con
il formalismo di Dirac. L'esempio proposto e' studiato l-oscillatore di Pais
Uhlenbeck al quale e' stato applicato il segeunte vincolo. Il vincolo ha
permesso di ridurre la dimensionalita' dello spazio delle fasi e eliminato
l'instabilita' di Ostrogradsky. L'Hamiltoniana risulatante dipende da 2
varabili canoniche, non da 4 ed ha una forma di un paraboloide quindi e'
limitata inferiormente.

22 Se proviamo a quantizzare i sistemi classici descritti da Lagrangiane di
ordine superiore otteiamo che la controparte quantistica soggetta alle stesse
problematiche e' in questo contesto l'instabilita' di ostrgradsky implica la
creazione di ghosts ovvero stati quantisitici a norma negativa.

23 Consideriamo l'oscillatore qunatistico Pais-Unlenbeck definito dal'operatore
H nel quale compaiono gli operatori x v px e pv. Se omega1 e' diverso da w2 si
puo' effettuare la segeuente trasformazione canonica quantistica

24 e ottenere l'operatore hamiltoniamo in una forma piu' famigliare. Questo e'
la differenza di due oscillatori armonici qunatistici indipendenti dai abbiamo
lo spettro energetico.

25 Con il temine ghost si indicano stati quantistici con norma
negativa. Possimo vedere che questi compaiono se si cerca di eleminare le
energie negative dallo spettro energetico. Riscriviamo l'operatore hamiltoniano
con gli usuali operatori di creazione e distruzione di oscillatori qunatistici
e osserviamo che il secondo termine produce stati eccitati con energie negative
decrescenti. Mettimo fine a questo comportamento definendo formalmente uno
stato psi tale che l'azione di a2croce si psi dia zero. Vediamo le proprieta'
di tale stato

26 E' proporzionale ad un esponziale, ha quindi norma negativa e rappresenta
per definizione lo stato di minor energia. A2 agisce su esso come opeatore di
creazione e a2croce come operatore di distruzione. Calcolando la norma di uno
stato eccitato, ottenuto agnedo con a2 si psi osserviamo che questo ha norma
negativa. Nell'ultimo passaggio si e' scabiato a con acroce usando la relazione
di commutazione.

27 Venimo alle conclusioni.

28 Si e' visto che le lagrangiane di ordine superiore compaiono nella
formulazione di teorie di campo in spazi di dimesione maggiore. La maggior
parte di queste teorie soffre dell'instabilita' di ostrogradsky ed e' proprio a
causa delle conseguenze di tale teorema che in passato tali teorie sono state
scarte a priori. Un modo di curare l'instabilta' di Ostrogradsky e' impoendo dei
vincoli. Le teorie di ordine superiore dovrebbero essere studiate in modo piu'
approfondito con particolare attenzione allo spettro enegetico del sistema.

29 Grazie.