monotone_stack.go

package copypasta

import (
	"slices"
	"sort"
)

/* 单调栈 Monotone Stack

视频讲解
https://www.bilibili.com/video/BV1VN411J7S7/

举例：返回每个元素两侧严格大于它的元素位置（不存在则为 -1 或 n）

如何理解：
把数组想象成一列山峰，站在 a[i] 的山顶，仰望两侧比 a[i] 更高的山峰，是看不到高山背后的矮山的，只能看到一座座更高的山峰。
此外，如果一座山无法看到，那么在后续的遍历中，就永远无法看到这座山了。
比如从右到左遍历，现在右边无法看到的山，继续向左也无法看到。（注意只看比 a[i] 更高的山峰）
这启发我们引入一个底大顶小（远大近小）的单调栈，入栈时不断弹出栈顶元素，直到栈顶比当前元素大。弹出的元素就是被 a[i] 挡住的，永远无法看到的山。

【图解单调栈】两种方法，两张图秒懂
https://leetcode.cn/problems/next-greater-node-in-linked-list/solution/tu-jie-dan-diao-zhan-liang-chong-fang-fa-v9ab/

【题单】单调栈（矩形面积/贡献法/最小字典序）
https://leetcode.cn/circle/discuss/9oZFK9/

技巧：事先压入一个边界元素到栈底，这样保证循环时栈一定不会为空，从而简化逻辑
一些转换：
    若区间 [l,r] 的最大值等于 a[r]，则 l 必须 > left[r]
    若区间 [l,r] 的最大值等于 a[l]，则 r 必须 < right[l]
    这一结论可以用于思考一些双变量的题目

https://oi-wiki.org/ds/monotonous-stack/
https://cp-algorithms.com/data_structures/stack_queue_modification.html

- [3113. 边界元素是最大值的子数组数目](https://leetcode.cn/problems/find-the-number-of-subarrays-where-boundary-elements-are-maximum/) 2046
    - 相似题目 [2421. 好路径的数目](https://leetcode.cn/problems/number-of-good-paths/)
- [1944. 队列中可以看到的人数](https://leetcode.cn/problems/number-of-visible-people-in-a-queue/) 2105
    - 中间的人可以和 i j 身高相等 https://www.luogu.com.cn/problem/P1823
    - 环形数组 https://codeforces.com/problemset/problem/5/E 2400
- [2454. 下一个更大元素 IV](https://leetcode.cn/problems/next-greater-element-iv/) 2175
    - 应用 https://atcoder.jp/contests/abc140/tasks/abc140_e
    - 应用 https://codeforces.com/problemset/problem/1736/C2 2400 用的是队列，但思路是一样的
https://codeforces.com/problemset/problem/280/B 1800 转换
https://codeforces.com/problemset/problem/1691/D 1800 max >= sum
https://codeforces.com/problemset/problem/1919/D 2100 结论
https://atcoder.jp/contests/arc189/tasks/arc189_d 2006=CF2228
https://atcoder.jp/contests/agc029/tasks/agc029_c 2103=CF2302
https://codeforces.com/problemset/problem/1827/C 2600 Manacher DP
https://www.luogu.com.cn/problem/P7167 倍增
https://www.luogu.com.cn/problem/P9290

单调栈二分
LC2940 https://leetcode.cn/problems/find-building-where-alice-and-bob-can-meet/ 2327 做法不止一种
LC2736 https://leetcode.cn/problems/maximum-sum-queries/ 2533
https://codeforces.com/problemset/problem/91/B 1500
https://atcoder.jp/contests/abc379/tasks/abc379_f 1659=CF1966 也有在线做法
https://codeforces.com/problemset/problem/2009/G2 2200

字典序最小
- [402. 移掉 K 位数字](https://leetcode.cn/problems/remove-k-digits/) ~1800
   - 402 变形：不允许自动去掉前导零 https://codeforces.com/problemset/problem/1765/N
https://codeforces.com/problemset/problem/1730/C 1200
https://codeforces.com/problemset/problem/1905/C 1400
https://codeforces.com/problemset/problem/2046/B 1600
https://codeforces.com/problemset/problem/1870/D 1800
双序列 https://atcoder.jp/contests/arc134/tasks/arc134_d

贡献法（计算所有子数组的……的和）
- [907. 子数组的最小值之和](https://leetcode.cn/problems/sum-of-subarray-minimums/) 1976
   - https://atcoder.jp/contests/agc057/tasks/agc057_b
- [2104. 子数组范围和（最大值-最小值）](https://leetcode.cn/problems/sum-of-subarray-ranges/) $\mathcal{O}(n)$ 做法难度大约 2000
   - https://codeforces.com/contest/817/problem/D 1900
- [1856. 子数组最小乘积的最大值](https://leetcode.cn/problems/maximum-subarray-min-product/) 2051
   - 枚举上下边界 https://atcoder.jp/contests/abc311/tasks/abc311_g
子数组第二大数字的和 https://atcoder.jp/contests/abc140/tasks/abc140_e
最大值是最小值的倍数 https://codeforces.com/problemset/problem/1730/E 2700
更多「贡献」话题见 common.go

单调栈优化 DP
- [2866. 美丽塔 II](https://leetcode.cn/problems/beautiful-towers-ii/) 2072
    - https://codeforces.com/problemset/problem/1313/C2 1900
结合线段树，或者巧妙地在单调栈中去维护最值 https://codeforces.com/problemset/problem/1483/C 2100
https://codeforces.com/problemset/problem/1913/D 2100
- 原题 https://tlx.toki.id/problems/ksn-2021/2A
https://codeforces.com/problemset/problem/1407/D 2200
https://codeforces.com/problemset/problem/5/E 2400

其他
LC42 接雨水 https://leetcode.cn/problems/trapping-rain-water/
评注：接雨水有三种不同的解法（前后缀分解、相向双指针和单调栈）
     其中相向双指针是前后缀分解的空间优化写法，视频讲解见 https://www.bilibili.com/video/BV1Qg411q7ia/
     单调栈视频讲解见 https://www.bilibili.com/video/BV1VN411J7S7/
     本质上是两种计算策略：1. 竖着累加：假设每个下标都有个水桶
                       2. 横着累加：见单调栈的做法（找上一个更大元素，在找的过程中填坑）
LC84 柱状图中最大的矩形 https://leetcode.cn/problems/largest-rectangle-in-histogram/ http://poj.org/problem?id=2559 http://poj.org/problem?id=2082
LC85 最大全 1 矩形（实现见下面的 maximalRectangleArea）https://leetcode.cn/problems/maximal-rectangle/ 原题为 http://poj.org/problem?id=3494
LC1504 全 1 矩形个数（实现见下面的 numSubmat）https://leetcode.cn/problems/count-submatrices-with-all-ones/
LC768 https://leetcode.cn/problems/max-chunks-to-make-sorted-ii/
LC2735 https://leetcode.cn/problems/collecting-chocolates/solutions/2305119/xian-xing-zuo-fa-by-heltion-ypdx/
LC2736 https://leetcode.cn/problems/maximum-sum-queries/
后缀数组+不同矩形对应方案数之和 https://codeforces.com/edu/course/2/lesson/2/5/practice/contest/269656/problem/D
与 bitOpTrickCnt 结合（见 bits.go）https://codeforces.com/problemset/problem/875/D
已知部分 right 还原全部 right；已知 right 还原 a https://codeforces.com/problemset/problem/1158/C
https://www.luogu.com.cn/problem/P5788
https://www.luogu.com.cn/problem/P2866 http://poj.org/problem?id=3250
NEERC05，UVa 1619 https://onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=825&page=show_problem&problem=4494
*/
func monotoneStack(a []int) (ans int) {
	// 考察局部最小
	// 如果有相同元素，需要把某一侧循环内的符号改成小于等于

	// 求左侧严格小于 a[i] 的最近位置 left[i]，这样 a[i] 就是区间 [left[i]+1,i] 内最小的元素（之一）
	// 如果改成求左侧小于等于，那么 a[i] 就是区间 [left[i]+1,i] 内独一无二的最小元素
	// 不存在时 left[i] = -1
	// 虽然写了个二重循环，但站在每个元素的视角看，这个元素在二重循环中最多入栈出栈各一次，因此整个二重循环的时间复杂度为 O(n)
	left := make([]int, len(a))
	st := []int{-1} // 栈底哨兵，在栈为空时可以直接把 left[i] 赋值为 -1
	for i, v := range a {
		for len(st) > 1 && a[st[len(st)-1]] >= v {
			st = st[:len(st)-1]
		}
		// 不断弹出 >= v 的，那么循环结束后栈顶就是 < v 的
		left[i] = st[len(st)-1]
		st = append(st, i)
	}

	// 求右侧严格小于 a[i] 的最近位置 right[i]，这样 a[i] 就是区间 [i,right[i]-1] 内最小的元素（之一）
	// 如果改成求右侧小于等于，那么 a[i] 就是区间 [i,right[i]-1] 内独一无二的最小元素
	// 不存在时 right[i] = n
	right := make([]int, len(a))
	st = []int{len(a)} // 栈底哨兵，在栈为空时可以直接把 right[i] 赋值为 len(a)
	for i, v := range slices.Backward(a) {
		for len(st) > 1 && a[st[len(st)-1]] >= v {
			st = st[:len(st)-1]
		}
		// 不断弹出 >= v 的，那么循环结束后栈顶就是 < v 的
		right[i] = st[len(st)-1]
		st = append(st, i)
	}

	{
		// TIPS: 如果有一侧定义成小于等于，还可以一次遍历求出 left 和 right
		leftL := make([]int, len(a))   // a[left[i]] < a[i]
		rightLE := make([]int, len(a)) // a[right[i]] <= a[i]
		st := []int{-1}
		for i, v := range a {
			for len(st) > 1 && v <= a[st[len(st)-1]] {
				rightLE[st[len(st)-1]] = i
				st = st[:len(st)-1]
			}
			// 循环结束后，栈顶就是左侧 < v 的最近元素了
			leftL[i] = st[len(st)-1]
			st = append(st, i)
		}
		for _, i := range st[1:] { // 其它语言的话，在创建 right 数组的时候初始化即可
			rightLE[i] = len(rightLE)
		}
	}

	// EXTRA：计算贡献（注意取模时避免出现负数）
	// 不需要上面的预处理，只需要一次遍历的写法，请看 https://leetcode.cn/problems/sum-of-subarray-minimums/solution/gong-xian-fa-dan-diao-zhan-san-chong-shi-gxa5/
	for i, v := range a {
		l, r := left[i], right[i] // (l,r) 左开右开
		cnt := (i - l) * (r - i)
		ans += v * cnt // 有 cnt 个子数组以 v 为最值
	}

	{
		n := len(a)
		// 不需要栈的写法！
		// left[i] 为左侧严格小于 a[i] 的最近元素位置（不存在时为 -1）
		left := make([]int, n)
		for i, v := range a {
			j := i - 1
			for j >= 0 && a[j] >= v { // 符号相反
				j = left[j]
			}
			left[i] = j
		}

		// right[i] 为右侧小于等于 a[i] 的最近元素位置（不存在时为 n）
		right := make([]int, n)
		for i := n - 1; i >= 0; i-- {
			v := a[i]
			j := i + 1
			for j < n && a[j] > v { // 符号相反
				j = right[j]
			}
			right[i] = j
		}

		{
			// 也可以合并！
			left := make([]int, n)
			right := make([]int, n)
			for i := range right {
				right[i] = n
			}
			for i, v := range a {
				j := i - 1
				for j >= 0 && a[j] >= v {
					right[j] = i
					j = left[j]
				}
				left[i] = j
			}
			// todo 哪些 right[i]=n 能不能像单调栈那样找出来？
		}
	}

	// EXTRA: 求所有长为 i 的子区间的最小值的最大值
	// https://codeforces.com/problemset/problem/547/B 
	// LC1950 https://leetcode.cn/problems/maximum-of-minimum-values-in-all-subarrays/（会员题）
	{
		ans := make([]int, len(a)+1)
		for i := range ans {
			ans[i] = -2e9
		}
		for i, v := range a {
			sz := right[i] - left[i] - 1
			ans[sz] = max(ans[sz], v)
		}
		for i := len(a) - 1; i > 0; i-- {
			ans[i] = max(ans[i], ans[i+1])
		}
		// ans[1:]
	}

	return
}

// 求右边第二个更大元素的下标（注意不是下一个更大元素的下一个更大元素）
// 如果没有，那么结果为 n
// 讲解 https://leetcode.cn/problems/next-greater-element-iv/solutions/1935877/by-endlesscheng-q6t5/
// LC2454 https://leetcode.cn/problems/next-greater-element-iv/ 2175
// https://atcoder.jp/contests/abc140/tasks/abc140_e
// https://codeforces.com/problemset/problem/1736/C2 2400 用的是队列，但思路是一样的
func next2Greater(a []int) ([]int, []int) {
	n := len(a)
	right := make([]int, n) // 下一个更大元素（可以省略）
	for i := range right {
		right[i] = n
	}
	right2 := make([]int, n)
	for i := range right2 {
		right2[i] = n
	}
	var s, t []int // 双单调栈
	for i, x := range a {
		for len(t) > 0 && a[t[len(t)-1]] < x {
			right2[t[len(t)-1]] = i // t 栈顶的下下个更大元素是 a[i]
			t = t[:len(t)-1]
		}
		j := len(s) - 1
		for j >= 0 && a[s[j]] < x {
			right[s[j]] = i // s 栈顶的下一个更大元素是 a[i]
			j--
		}
		t = append(t, s[j+1:]...) // 把从 s 弹出的这一整段元素加到 t
		s = append(s[:j+1], i)
	}
	return right, right2
}

// 注：若输入的是一个 1~n 的排列，求两侧大于/小于位置有更简单的写法
// 用双向链表思考（代码实现时用的数组）：
// - 把 perm 转换成双向链表，按元素值**从小到大**遍历 perm[i]，那么 perm[i] 左右两侧的就是大于 perm[i] 的元素
// - 算完 perm[i] 后把 perm[i] 从链表中删掉
// 为避免判断下标越界，传入的 perm 虽然下标是从 0 开始的，但视作从 1 开始（不存在时表示为 0 或 n+1）
// https://codeforces.com/contest/1156/problem/E
// https://atcoder.jp/contests/abc140/tasks/abc140_e
func permLR(perm []int) ([]int, []int) {
	// 注：无脑的写法是用有序集合维护「剩余未被删除的下标」
	n := len(perm)
	pos := make([]int, n+1)
	left := make([]int, n+2)
	right := make([]int, n+1)
	for i := 1; i <= n; i++ {
		pos[perm[i-1]] = i
		left[i], right[i] = i-1, i+1
	}
	right[0] = 1
	left[n+1] = n // 哨兵（本题不需要这两行，但是某些题目需要，比如 https://codeforces.com/problemset/problem/1154/E）
	del := func(i int) {
		l, r := left[i], right[i]
		right[l] = r
		left[r] = l
	}

	// 正序遍历求出的是两侧大于位置
	// 倒序遍历求出的是两侧小于位置
	for v := 1; v <= n; v++ {
		i := pos[v]
		l, r := left[i], right[i]
		// do ...
		_, _ = l, r

		del(i) // 从链表中删除 v
	}
	return left, right
}

// 最大全 1 矩形
// LC85 https://leetcode.cn/problems/maximal-rectangle/
func maximalRectangleArea(mat [][]int) (ans int) {
	const target = 1
	n, m := len(mat), len(mat[0])
	heights := make([][]int, n) // heights[i][j] 表示从 (i,j) 往上看的高度（连续 1 的长度），mat[i][j] = 0 时为 0
	for i, row := range mat {
		heights[i] = make([]int, m)
		for j, v := range row {
			if v == target {
				if i == 0 {
					heights[i][j] = 1
				} else {
					heights[i][j] = heights[i-1][j] + 1
				}
			}
		}
	}

	// 然后枚举每一行，就变成 LC84 这题了
	type pair struct{ h, i int }
	for _, hs := range heights {
		left := make([]int, m)
		st := []pair{{-1, -1}}
		for j, h := range hs {
			for {
				if top := st[len(st)-1]; top.h < h {
					left[j] = top.i
					break
				}
				st = st[:len(st)-1]
			}
			st = append(st, pair{h, j})
		}

		right := make([]int, m)
		st = []pair{{-1, m}}
		for j, h := range slices.Backward(hs) {
			for {
				if top := st[len(st)-1]; top.h < h {
					right[j] = top.i
					break
				}
				st = st[:len(st)-1]
			}
			st = append(st, pair{h, j})
		}

		for j, h := range hs {
			if area := (right[j] - left[j] - 1) * h; area > ans {
				ans = area
			}
		}
	}
	return
}

// 全 1 矩形个数
// LC1504 https://leetcode.cn/problems/count-submatrices-with-all-ones/
// 参考 https://leetcode.com/problems/count-submatrices-with-all-ones/discuss/720265/Java-Detailed-Explanation-From-O(MNM)-to-O(MN)-by-using-Stack
func numSubmat(mat [][]int) (ans int) {
	m := len(mat[0])
	heights := make([]int, m)
	for _, row := range mat {
		sum := make([]int, m)
		type pair struct{ h, j int }
		st := []pair{{-1, -1}}
		for j, v := range row {
			if v == 0 {
				heights[j] = 0
			} else {
				heights[j]++
			}
			h := heights[j]
			for {
				if top := st[len(st)-1]; top.h < h {
					if pre := top.j; pre < 0 {
						sum[j] = (j + 1) * h
					} else {
						sum[j] = sum[pre] + (j-pre)*h
					}
					ans += sum[j]
					break
				}
				st = st[:len(st)-1]
			}
			st = append(st, pair{h, j})
		}
	}
	return
}

// 字典序最小的无重复字符的子序列，包含原串所有字符
// LC316 https://leetcode.cn/problems/remove-duplicate-letters/
//       https://atcoder.jp/contests/abc299/tasks/abc299_g
// EXTRA: 重复个数不超过 limit https://leetcode.cn/contest/tianchi2022/problems/ev2bru/
// https://codeforces.com/contest/1886/problem/C
func removeDuplicateLetters(s string) string {
	left := ['z' + 1]int{}
	for _, c := range s {
		left[c]++
	}
	st := []rune{}
	inSt := ['z' + 1]bool{}
	for _, c := range s {
		left[c]--
		if inSt[c] {
			continue
		}
		for len(st) > 0 && c < st[len(st)-1] && left[st[len(st)-1]] > 0 {
			top := st[len(st)-1]
			st = st[:len(st)-1]
			inSt[top] = false // top > c，且 top 后面还有，那么可以重新加进来
		}
		st = append(st, c)
		inSt[c] = true
	}
	return string(st)
}

// 求 a 的最长的子数组，其元素和大于 lowerSum
// 返回任意一个符合要求的子数组的左右端点（闭区间）
// 如果不存在，返回 [-1,-1]
// 讲解：https://leetcode.cn/problems/longest-well-performing-interval/solution/liang-chong-zuo-fa-liang-zhang-tu-miao-d-hysl/
// LC962 https://leetcode.cn/problems/maximum-width-ramp/
// LC1124 https://leetcode.cn/problems/longest-well-performing-interval/
// 有点相关 https://codeforces.com/problemset/problem/1788/E
func longestSubarrayWithLowerSum(a []int, lowerSum int) (int, int) {
	n := len(a)
	sum := make([]int, n+1)
	st := []int{0}
	for j, v := range a {
		j++
		sum[j] = sum[j-1] + v
		if sum[j] < sum[st[len(st)-1]] {
			st = append(st, j)
		}
	}

	l, r := -1, 0
	for i := n; i > 0; i-- {
		for len(st) > 0 && sum[i]-sum[st[len(st)-1]] > lowerSum {
			j := st[len(st)-1]
			st = st[:len(st)-1]
			if l < 0 || i-j < r-l {
				l, r = j, i
			}
		}
	}
	r-- // 闭区间

	return l, r
}

// 静态区间最值
// https://ac.nowcoder.com/acm/contest/86034/F
func rangeMaxWithSt(a []int, queries []struct{ l, r int }) []int {
	// 离线询问
	type pair struct{ left, qid int }
	qs := make([][]pair, len(a))
	for i, q := range queries {
		l, r := q.l, q.r // l 和 r 的下标从 0 开始
		qs[r] = append(qs[r], pair{l, i})
	}

	ans := make([]int, len(queries))
	maxSt := []int{} // 单调栈，维护最大
	minSt := []int{} // 单调栈，维护最小
	for right, v := range a {
		for len(maxSt) > 0 && v >= a[maxSt[len(maxSt)-1]] {
			maxSt = maxSt[:len(maxSt)-1]
		}
		maxSt = append(maxSt, right)

		for len(minSt) > 0 && v <= a[minSt[len(minSt)-1]] {
			minSt = minSt[:len(minSt)-1]
		}
		minSt = append(minSt, right)

		for _, p := range qs[right] {
			ans[p.qid] = a[maxSt[sort.SearchInts(maxSt, p.left)]] // 计算区间最大
			//ans[p.qid] = a[minSt[sort.SearchInts(minSt, p.left)]] // 计算区间最小
		}
	}
	return ans
}